摘要：欲從水平變式“過(guò)渡到”垂直變式，關(guān)鍵要把握認(rèn)知負(fù)荷的問(wèn)題，認(rèn)知負(fù)荷太大或太小，不會(huì)從水平變式“過(guò)渡到”垂直變式，好的課程設(shè)計(jì)要使題目的難度在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，變化題目的表面形式特征，同時(shí)控制不變的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，最終讓學(xué)生掌握“變中的不變”，培養(yǎng)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的本領(lǐng)。數(shù)學(xué)問(wèn)題變式可分為水平變式和垂直變式，問(wèn)題變式本身展示了結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。

　　關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}變式;結(jié)構(gòu);功能;認(rèn)知

　　本文以數(shù)學(xué)問(wèn)題變式為例，論述問(wèn)題變式中結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。

　　近幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問(wèn)題受到了很好的注意。但很多研究更多地關(guān)注單個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的關(guān)系，并未加以應(yīng)有的關(guān)注。事實(shí)上，學(xué)生往往不是解一道題，而是解幾道題，學(xué)生可能從題題之間不變的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)意義，進(jìn)而把問(wèn)題分類(lèi)，使題目類(lèi)型化。變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教師十分熟悉的教學(xué)思想、教學(xué)理念，這方面有很多實(shí)踐，可理論研究還很弱。為什么該教學(xué)方法有用?變式教學(xué)的合理之處是什么?本文嘗試以此為“透鏡”，通過(guò)題題之間的結(jié)構(gòu)，透視數(shù)學(xué)問(wèn)題變式的功能。

　　最近，以Marton為首的歐洲學(xué)派的變式學(xué)習(xí)理論研究，逐步在香港教育界扎根并開(kāi)花結(jié)果。Marton變式學(xué)習(xí)理論認(rèn)為經(jīng)歷事物的方式就是學(xué)習(xí)(Marton & Booth，1997)。把“變的部分”和“不變的部分”加以區(qū)別，人們所經(jīng)歷的過(guò)程，稱(chēng)為變式學(xué)習(xí)。

　　一、數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題變式

　　變式，可以說(shuō)是中國(guó)內(nèi)地“本土化”的實(shí)用教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。為了通俗地介紹變式題，筆者先從讀小學(xué)時(shí)的一個(gè)小故事談起。一位小學(xué)教師出了一道題：的是多少?當(dāng)時(shí)大家都不會(huì)做。于是這位教師就說(shuō)：“以后解題，凡看見(jiàn)××××的多少，用除法。看見(jiàn)××××是多少，用乘法。所以這道題用乘法。”于是我會(huì)做這類(lèi)題了，卻根本不懂什么意思。后來(lái)，這位數(shù)學(xué)教師繼續(xù)上課，他用一串啟發(fā)性的由淺入深的題組(下表)，令我豁然開(kāi)朗。這就是問(wèn)題變式。

　　題目：的倍是多少?

　　我們一般把將源問(wèn)題加以變化的這些新問(wèn)題，稱(chēng)為變式題。將源問(wèn)題加以變化，稱(chēng)為問(wèn)題變式。

　　二、數(shù)學(xué)問(wèn)題變式的結(jié)構(gòu)

　　(一)問(wèn)題的兩重特征

　　每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可分解為表面形式特征和深層數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征。表面形式特征是指問(wèn)題呈現(xiàn)的表述方式的淺層特征;數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征指涉及問(wèn)題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原則等的深層特征。

　　例如，25個(gè)學(xué)生一起去劃船。大船每條可以坐6人，租金10元;小船每條只可以坐4人，租金8元。應(yīng)該怎樣租船才付最少的租金呢?要租多少條大船?多少條小船?租金又是多少呢?這個(gè)問(wèn)題的表面特征是問(wèn)題情境的陳述：一系列數(shù)字。這些數(shù)字，經(jīng)過(guò)調(diào)換，可以變化，但是對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)影響不大。至于這一題目的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征則是：題目中涉及人數(shù)、大小船數(shù)、空位數(shù)和錢(qián)數(shù)共四個(gè)變量，學(xué)生需要綜合思考四個(gè)變量之間的變化依賴(lài)關(guān)系。

　　問(wèn)題的表面特征和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征彼此相異，又互相補(bǔ)充。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征必須通過(guò)表面形式特征來(lái)體現(xiàn)，表面形式特征可以反映數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征。但是，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征反映問(wèn)題“質(zhì)”的方面，處于核心地位。

　　(二)問(wèn)題變式的兩類(lèi)結(jié)構(gòu)：水平變式和垂直變式

　　這里，我們提出一種新的分類(lèi)。新問(wèn)題相對(duì)源問(wèn)題來(lái)說(shuō)，學(xué)生能區(qū)分問(wèn)題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，不帶來(lái)認(rèn)知負(fù)荷的變化，為水平變式;學(xué)生不能區(qū)分問(wèn)題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，帶來(lái)認(rèn)知負(fù)荷的變化，為垂直變式。這里我們把“問(wèn)題解決過(guò)程中，記憶容量和信息加工的負(fù)荷，統(tǒng)稱(chēng)為認(rèn)知負(fù)荷(cognition load)。

　　這樣，可按問(wèn)題結(jié)構(gòu)的變化分成不同的層次(垂直變式)，在同一結(jié)構(gòu)層次中，可以分成問(wèn)題表面形式特征不同的變化(水平變式)。一般來(lái)說(shuō)，題目的認(rèn)知負(fù)荷要在學(xué)生可理解的范圍即最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。

　　教學(xué)的關(guān)鍵是化“難”為“易”，化“垂直變式”為學(xué)生容易理解的“水平變式”，化“大變”為學(xué)生容易區(qū)分的“小變”，化“質(zhì)變”為“量變”，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要技能。

　　值得一提的是，水平變式和垂直變式的劃分是相對(duì)認(rèn)知水平而言的。例如，上述問(wèn)題變式對(duì)小學(xué)生而言，可能有認(rèn)知負(fù)荷，那么是垂直變式，而對(duì)中學(xué)生而言，可能沒(méi)有認(rèn)知負(fù)荷，是水平變式。兩類(lèi)結(jié)構(gòu)的區(qū)分主要以有無(wú)認(rèn)知負(fù)荷為標(biāo)準(zhǔn)。

　　水平變式是問(wèn)題表面重復(fù)部分，垂直變式是問(wèn)題表面變化部分，增加了認(rèn)知負(fù)荷，二者圍繞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“中心軸”發(fā)展，三者(水平部分，垂直部分，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“中心軸”)形成了螺旋式發(fā)展問(wèn)題空間。變式教學(xué)的精髓就是把認(rèn)知負(fù)荷大的問(wèn)題，分解為認(rèn)知負(fù)荷小的問(wèn)題，把垂直變式化為螺旋，循序漸進(jìn)，分解水平變式。(這即是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)策略“大化小，小化了，分而治之，分散難點(diǎn)”的做法。)

　　三、數(shù)學(xué)問(wèn)題變式的功能：“概念與過(guò)程”

　　數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往要經(jīng)歷“過(guò)程”達(dá)成，然后轉(zhuǎn)化為“概念”(對(duì)象)的認(rèn)知過(guò)程(Sfard,1991;鮑建生，等，2003)。從這個(gè)意義上，問(wèn)題變式也不可避免地扮演過(guò)程的操作性和概念的結(jié)構(gòu)性?xún)芍亟巧U建生等(2003)把變式分為“概念性變式與過(guò)程性變式”正基于這種考慮。

　　教學(xué)上，問(wèn)題變式不要無(wú)的放矢，為變而變，變式題設(shè)計(jì)總是圍繞數(shù)學(xué)概念的元素和關(guān)系，分別設(shè)計(jì)區(qū)別該元素的題組，圍繞“期望達(dá)成的概念和程序”而設(shè)計(jì)“問(wèn)題變式題組”。變式問(wèn)題，包含雙重目的：概念與過(guò)程，即建構(gòu)概念和技能與發(fā)展思維過(guò)程，也就是兼顧“內(nèi)容和過(guò)程”，兼顧數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)到高層次思維能力。

　　事實(shí)上，這組題目顯示了發(fā)展概念和培養(yǎng)過(guò)程的相輔相成，具有概念與過(guò)程雙重性。

　　因此，問(wèn)題變式的發(fā)展，是為了概念發(fā)展的螺旋式改變而設(shè)計(jì)，通過(guò)“結(jié)構(gòu)”問(wèn)題產(chǎn)生認(rèn)知“功能”，達(dá)成教學(xué)“目標(biāo)”。發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念和過(guò)程的關(guān)系如下圖所示。

　　四、問(wèn)題變式：結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一

　　在學(xué)習(xí)者眼中，變式題包含的概念(數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu))是源題目的重復(fù)，是再認(rèn)(重復(fù)性)題目，認(rèn)知的功能是“鞏固”，否則，垂直變式不能區(qū)分題目包含的數(shù)學(xué)概念和關(guān)系(數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu))，即增加了新的認(rèn)知元素，必須區(qū)分題目的認(rèn)知負(fù)荷。在學(xué)習(xí)者眼中，是發(fā)展性題目，認(rèn)知的功能扮演“發(fā)展”的角色。問(wèn)題變式本身展示了結(jié)構(gòu)與功能的統(tǒng)一。我們以一個(gè)例子加以說(shuō)明。

　　問(wèn)題變式的核心是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)。它逐步增加認(rèn)知負(fù)荷，逐步驅(qū)動(dòng)高層的數(shù)學(xué)思維，逐步由表層類(lèi)比(數(shù)字和字母的變化)向結(jié)構(gòu)類(lèi)比(因式分解的一般規(guī)則)轉(zhuǎn)化。它增加了深層策略，把原來(lái)的程序知識(shí)轉(zhuǎn)化為策略知識(shí)，由表層學(xué)習(xí)向結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，逐步增加輸出深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)結(jié)果，逐步增加對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深層體會(huì)，逐步增加對(duì)深層數(shù)學(xué)價(jià)值的體會(huì)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由起點(diǎn)(例題)到終點(diǎn)(垂直變式題)深層經(jīng)歷。

　　五、問(wèn)題變式的問(wèn)題解決過(guò)程理論小結(jié)

　　綜上所述，變式本身是對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)。水平變式題建立覆蓋所有正例并排除所有反例的一般描述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，垂直變式是條件認(rèn)知的較深層次的加工，它抽取問(wèn)題表面特征以外的結(jié)構(gòu)特征，不會(huì)受阻于問(wèn)題的表面特征，構(gòu)成題目的“結(jié)構(gòu)骨架”。學(xué)習(xí)者由水平變式題到垂直變式題的解答，建立題目的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，逐步由表層區(qū)分過(guò)渡到結(jié)構(gòu)區(qū)分。水平變式是垂直變式的基礎(chǔ)，垂直變式是水平變式的必然發(fā)展，二者互相依存，互為補(bǔ)充。

　　在不斷“區(qū)分”中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“思維”，促進(jìn)“表層學(xué)習(xí)向深層學(xué)習(xí)”方式的培養(yǎng)。課程論和方法論是不可分割的一個(gè)整體，從“結(jié)構(gòu)”到“建構(gòu)”，形成整體“結(jié)構(gòu)”，才會(huì)產(chǎn)生整體“功能”。當(dāng)然，變式的“度”至關(guān)重要，變的“度”太小，成了題海戰(zhàn)術(shù)，變的“度”太大，又跳到另一個(gè)極端，學(xué)生不能掌控，產(chǎn)生失敗感，同樣不能產(chǎn)生高層次思維，不能產(chǎn)生認(rèn)知“功能”。