摘 要：數學源自于人類早期的生產活動，早期古希臘、古巴比倫、古埃及、古印度及中國古代都對數學有所研究。數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門科學。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。文章發表在《數學學習與研究》上，是研究生論文發表范文，供同行參考。
關鍵詞：數學;數學開放題;開放題的研究;
數學是研究現實世界空間形式和數量關系的一門科學.分為初等數學和高等數學.它在科學發展和現代生活生產中的應用非常廣泛，是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具.近年來，數學開放題作為一個具有時代特色的數學教育改革的亮點，已日益引起我國數學教育界的注意，逐漸形成為數學教學改革的一個熱點。1998年的全國高等學校招生統一考試數學試題里“開放題”居然也堂皇入室。
傳統的教師中心“遺傳”基因，直到今天依然存在，而且嚴重地影響著數學教師的教學觀念，影響著數學教育的發展。
數學開放題有利于學生根據自己的認知結構對問題作出解釋，實現對知識的主動建構，獲得認知結構的改造和重組。由于數學開放題強調了學生獲得解答的過程，體現了學生在教學活動中的真正主體地位，從而極大地提高了學生的學習積極性，是克服“灌輸式”教學傾向的解藥。因此，對廣大數學教師的教學經驗進行總結，主動接受建構主義教學理論的指導，構建中國式的數學開放題及其教學模式是對學生進行素質教育的一種有效途徑。
一、何謂開放題?
(1)開放題是指那些答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的問題。 (2)開放題并不是普通的數學問題，而是為了達到一定的教育目的而精心編制設計的數學問題。
一道數學題的開放性(開放度)在很大程度上取決于這道題采用何種設問方式。即使是一道傳統的封閉性數學題，也可以通過改變其設問方式而將其改編為具有開放性的習題。要求學生進行多方面、多角度、多層次探索是一種“開放性的解題要求”，通常使用“試盡可能多地……”一類的詞語來提出，它對學生具有“鼓勵參與，激勵優化，追 求卓越”的作用。
二、為何研究開放題
目前人們普遍認為素質教育的核心是培養創新精神和創造能力，而開放題教學是推進數學素質教育的一個切入點和突破口。開放題給學生進行創造性學習提供了寬松、自由的環境，它的作用體現在以下幾個方面：
1、開放題的教育作用：
① 發散性 學生必須打破原有的思維模式，展開聯想和想象的翅膀，從多角度、多方位、多層次進行探討，其思維方向和模式的發散性有利于創造性能力的形成。
② 探索性 因為開放題易使學生形成原有認知結構和新認知結構的沖突，學生必須通過順應來主動建構新的認知結構，因而有利于培養他們的探索意識和創新精神。
③ 趣味性 開放題獨特的敘述方式、寬松的解題環境和極富挑戰性的解題策略，為學生在迫切要求下進行數學學習創造了條件，有利于激發學生的好奇心和好勝心，增強了學習的內驅力，對數學探索產生濃厚興趣。
④ 多樣性 在開放題教學中，既要有學生獨立思考的個體活動，還需有師生之間、學生之間的合作、討論、交流的群體活動。開放題答案的多樣性，使得其最終的解決只靠個人的力量在有限的時間內難以完成，需要依靠集體的智慧和群體的力量。
基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分.其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見.從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展，直至16世紀的文藝復興時期，隨著其幾何學與我國算術的結合形成解析幾何，并發展出更加精微的微積分，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日.
2、開放題的轉化作用：
開放題的出現以及對其教育功能的肯定，一方面反映了人們數學教育觀念的轉變;另一方面適應了飛速發展的時代的需要。實際上反映了人們對于數學教學新模式的追求，是人們站在新時代歷史的高度上對數學教育改革的新探索。
觀念轉變的原因：
a.當技術的發展已使社會數學化，數學的應用已滲透到開放社會的各個方面的時候，我們不應滿足于陳舊的、封閉的教學方法。
b.數學不能僅僅理解為一門演繹科學，數學還有其更重要的一面，即它是一門非邏輯的、生動的、有豐富創造力的科學。
c.數學教學是學生創新活動的過程，僅僅靠教師的傳授，不能使學生獲得真正的數學知識。
d.在數學教學活動中，學生是教學認知的主體，沒有學生的積極參與就沒有名副其實的教學活動，教師的作用主要體現在他是教學活動的組織者、指導者和鼓勵者。
三、開放題的特點
① 問題的條件常常是不完備的;
② 問題的答案是不確定的，具有層次性。
今日，數學被使用在世界不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等.數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，并導致全新學科的發展.數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標.雖然許多以純數學開始的研究，但之后會發現許多應用.
四、開放題的分類
(1)設計條件的開放 傳統的答題模式多數是條件與結論——對應的定式訓練，解題時不必考慮條件的由來。然而現實生活中人們得到的信息對于某個具體問題而言絕大多數是無用的，必須善于從大量信息中篩選出有用的信息。因此有意設計一些條件過剩或不足的開放題會更好地完善學生的認知結構。若設計成求一個三角形面積(單位：分米)，則效果不大一樣。
(2)設計結論的開放 這類題的條件和問題都很明確，而結論卻不惟一，具有發散性和多面性。例如：將“如一把木塊平均分成三塊完全一樣的長方體后表面積增加了多少(單位：厘米)”的常規題去掉圖中虛線，則成結論開放題。
五、開放題的功能
美國加里福尼亞教育部指出了開放性問題的五個功能：
1、開放性問題為學生提供了自己進行思考并用他們自己的數學觀念來表達的機會，這和他們在數學學習中的發展是一致的。
2、開放性的問題要求學生構建他們自己的反映而不是選擇一個簡單的答案。
3、開放性問題允許學生表達他們對問題的深層次的理解，這在多項選擇中是無法做到的。
六、開放題的教育價值觀
開放題作為一種具有特殊形式的數學問題，與一般的數學問題一樣,也具有知識教育價值。開放題最突出的、人們談論最多的是：它有利于培養學生發散思維和創造能力。這也是開放題教育價值最核心的內容和最主要的體現。目前人們普遍認為素質教育的核心是培養創新精神和創造能力，而開放題教學是推進數學素質教育的一個切 入點和突破口。這從一個側面反映了開放題在培養創造能力方面所具有的巨大教育價值。
從結構形式上看，開放題具有組成要素的非完備性和解題答案的不確定性;從解答過程和解題策略看，開放題具有發散性、探究性、層次性、發展性、創新性等特性。開放題的特性決定了開放題教學的開放性，因而在這種教學環境中，學生是以知識的主動發現者、探索者和研究者的身份出現，學生不再是“裝”數學，而是“搞”數學，這就可以使他們在一定程度上去體驗數學家進行數學研究的活動過程，深切領會數學的實質，有利于形成正確的數學觀念和數學意識，掌握數學的靈魂——思想方法，為今后的學習以及成人后用數學的思想方法、思維方式來解決問題做準備。
創立于二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純數學，是研究抽象結構的理論.結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統.布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構(群，環，域，格……)、序結構(偏序，全序……)、拓撲結構(鄰域，極限，連通性，維數……).
開放題在激發學生學習的興趣，樹立學習的自信心，凸現學生的主體意識，形成獨立的人格和克服困難、勇于探索的意志品質，培養群體意識和合作精神，增強競爭機制，培養探索意識和創新意識，形成正確的科學態度等方面，具有極大的優勢。可見開放題的人文教育價值也很大。
結束語
數學開放題不應該排斥傳統教學，它是傳統教學的一種補充。通過教學開放題實踐體會到：數學開放題只是為學生高層次思維的發展提供了一種可能性;數學開放題對學生的要求很高，不僅要求學生有較高認知水平，還要有較強的主動參與意識，才能有開放的氣氛;在教學過程中，不僅要求教師能放開，還要求教師收得回來，這樣才能收放自如。只有在教學實踐中逐步摸索經驗，才能真正有效地體現數學開放題的教育價值。
研究生論文發表期刊須知：《數學學習與研究》雜志是由東北師范大學主管，吉林省數學會與東北師范大學出版社聯合主辦的省級優秀數學類期刊雜志。雜志經新聞出版總署批準，全國發行。國內刊號：CN22-1217/O1。雜志為國內為數不多的數學類研究專刊，為國內數學類優秀刊物。《數學學習與研究》雜志，是一本吉林省的數學類的專業學術期刊。雜志涵蓋數學研究最豐富的學術資源。
