摘 要：復(fù)阻尼模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，但結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析較為復(fù)雜.本文針對(duì)單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)基于譜矩相等準(zhǔn)則，即令復(fù)阻尼原始系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的的零階和二階譜矩相等，得到單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的等效頻率和等效阻尼.將等效系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果與原始系統(tǒng)計(jì)算得到的精確解以及由經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行比較，等效系統(tǒng)具有很高的精度.

　　關(guān)鍵詞：復(fù)阻尼結(jié)構(gòu);譜矩;等效頻率;等效阻尼;單自由度

　　《包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)》堅(jiān)持為社會(huì)主義服務(wù)的方向，堅(jiān)持以馬克思列寧主義、毛澤東思想和鄧小平理論為指導(dǎo)，貫徹“百花齊放、百家爭(zhēng)鳴”和“古為今用、洋為中用”的方針，堅(jiān)持實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)風(fēng)，傳播先進(jìn)的科學(xué)文化知識(shí)，弘揚(yáng)民族科學(xué)文化，促進(jìn)國(guó)際科學(xué)文化交流，探索高等職業(yè)教育、教學(xué)及管理諸方面的規(guī)律，活躍教學(xué)與科研的學(xué)術(shù)風(fēng)氣，為教學(xué)與科研服務(wù)。

　　0 引言

　　復(fù)阻尼模型和粘滯阻尼模型是常見的阻尼模型[1-3]，在實(shí)際工程中的應(yīng)用也較為廣泛.對(duì)于這些阻尼耗能結(jié)構(gòu)，目前在世界范圍內(nèi)進(jìn)行抗震設(shè)防設(shè)計(jì)基本是基于反應(yīng)譜的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)[4-5].地震動(dòng)特性和阻尼器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特性兩者間的關(guān)系是抗震設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵問題，這兩者之間關(guān)系在反應(yīng)譜中都考慮進(jìn)去了，因此要用合理的方法確定結(jié)構(gòu)的等效阻尼.

　　相比于粘滯阻尼，復(fù)阻尼模型可以比較好的描述阻尼特性[6-8]，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比，復(fù)阻尼模型也比較相符[9].振幅改變、應(yīng)力等因素對(duì)實(shí)際應(yīng)用的材料都有影響，并且材料的能量耗散也與之相關(guān)，相比于其他阻尼模型，復(fù)阻尼模型考慮到了這些的問題.因此，研究復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的地震分析以及其等效阻尼極其具有工程意義.

　　在對(duì)單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析方面，已經(jīng)有對(duì)其在頻域和時(shí)域的研究成果[10-13]，通過(guò)對(duì)比單自由度復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)時(shí)域精確解法與頻域解法之間的情況，分析了在求解過(guò)程中一些不恰當(dāng)?shù)淖龇ǎ约霸谶M(jìn)行時(shí)域計(jì)算時(shí)實(shí)部與虛部之間的影響.但大都是采用如精細(xì)積分法、Newmark-[β]、平均加速度等方法，尚未解決有關(guān)等效阻尼的算法，因反應(yīng)譜法中需要涉及，本文提供了一種單自由度復(fù)阻尼結(jié)構(gòu)的等效阻尼算法.

　　阻尼耗能結(jié)構(gòu)的解析法分為擴(kuò)階法和非擴(kuò)階法.對(duì)于Maxwell、廣義Maxwell模型[14-15]，以及分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[16-17]，目前一般采用擴(kuò)階法，此法可以比較快速獲得擴(kuò)階的近似模型從而求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的解析解.但是在應(yīng)用擴(kuò)階法時(shí)，常常因其變量個(gè)數(shù)較多，導(dǎo)致在計(jì)算過(guò)程中效率降低.經(jīng)典的模態(tài)應(yīng)變能法[18-19]和強(qiáng)行振型解耦法[20]屬于非擴(kuò)階法，這兩種方法在計(jì)算過(guò)程中采用了比較多的假設(shè)，其適用性和精確性有待提高.

　　在工程中大量運(yùn)用的阻尼系統(tǒng)，其動(dòng)力特性都是由其頻率響應(yīng)函數(shù)決定[21].在此基礎(chǔ)上，本文重新構(gòu)造了復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的基本分析方程，根據(jù)其頻率響應(yīng)函數(shù)，基于譜矩相等的等效準(zhǔn)則，即原始系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的頻響函數(shù)的各階譜矩均相等，則兩個(gè)系統(tǒng)完全等效;如果兩個(gè)系統(tǒng)有限階譜矩也相等，則他們近似等效.因此令復(fù)阻尼原始系統(tǒng)和等效系統(tǒng)的零階和二階譜矩相等，求得單自由度復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的近似解析式以及等效阻尼和等效頻率.譜矩相等的準(zhǔn)則在求解Maxwell阻尼器結(jié)構(gòu)也有應(yīng)用[22]，用譜矩法求解的優(yōu)勢(shì)在于可以直接通過(guò)積分的方法求得其各階譜矩，為在分析其他各種阻尼耗能結(jié)構(gòu)提供一種新思路.

　　1 復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的譜矩分析

　　復(fù)阻尼單自由度系統(tǒng)在地震激勵(lì)下，其運(yùn)動(dòng)方程為[10]：

　　[mx+k(1+iη)x=-mxg] (1)

　　式中，m——質(zhì)量;k——剛度;i——虛數(shù)單位，i=[-1];[η]——耗損因子，且0<[η]<1;[x]——質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面位移;[xg]——地震動(dòng)地面加速度.

　　方程(1)可以改寫為：

　　[x+ω20(1+iη)x=-xg] (2)

　　式中，

　　[ω20=km] (3)

　　方程(2)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：

　　[H(iω)=-1(iω)2+ω20(1+iη)] (4)

　　由隨機(jī)振動(dòng)結(jié)構(gòu)中的定義，可以得到頻率響應(yīng)函數(shù)[H(iω)]的零階譜矩[I0]和二階譜矩[I2]表達(dá)式分別為：

　　[I0=-∞+∞ω0H(ω)2dω] (5)

　　[I2=-∞+∞ω2H(ω)2dω] (6)

　　式(5)、式(6)中，[·]表示求模.

　　將方程(4)代入方程(5)可求得：

　　[I0=-∞+∞ω0H(ω)2dω=π2ω30η1+1+η21+η2] (7)

　　同理，將方程(4)代入方程(6)可求得：

　　[I2=-∞+∞ω2H(ω)2dω=π2ω0η1+η2+1] (8)

　　2 復(fù)阻尼耗能結(jié)構(gòu)的等效系統(tǒng)

　　2.1 等效系統(tǒng)的譜矩分析

　　假設(shè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(2)的等效系統(tǒng)為：

　　[x+2ξeωex+ω2ex=-xg] (9)

　　式中，[ωe、ξe]分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)待定的等效頻率和等效阻尼比(式(9)通常的阻尼結(jié)構(gòu)都可以采用該類等效).

　　方程(9)的等效系統(tǒng)的位移頻率響應(yīng)函數(shù)[Hxe(iω)]為：

　　[Hxe(iω)=-1ω2e+2ξeωe(iω)+(iω)2] (10)

　　由隨機(jī)振動(dòng)譜矩的耗能結(jié)構(gòu)的位移方程，可以求得等效系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)[Hxe(iω)]的零階譜矩[I0e]和二階譜矩[I2e]解析式分別為：

　　[I0e=-∞∞ω0Hxe(iω)2dω=π2ξeω3e] (11)

　　[I2e=-∞∞ω2Hxe(iω)2dω=π2ξeωe] (12)