【摘要】 湊微分法指的是把被積分式湊成某個函數(shù)的微分的積分方法。不定積分的求解一直是高等數(shù)學的重點，但由于其方法的靈活性以及結果的不確定性，又一直是高等數(shù)學的難點。文章發(fā)表在《中國高教研究》上，是教育論文發(fā)表范文，供同行參考。

　　【關鍵詞】不定積分,湊微分, 換元積分法, 分部積分法, 醫(yī)用高等數(shù)學

　　微積分是醫(yī)用高等數(shù)學的基本和主要內容，在數(shù)學甚至是自然科學的發(fā)展階段中有著不可磨滅的貢獻，正如恩格斯所說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里”[1]。

　　作者在教學之余，曾關于不定積分的求解方法總結過一句口訣“原函數(shù)，結牛萊，湊微代換分部微元來，定于不定都交代”[2]。不定積分的常規(guī)求解方法主要包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，而經常使用的主要是換元積分法和分部積分法，其核心即——“湊微分”。

　　1 換元積分法中的“湊微分”

　　換元積分法中的“湊微分”主要體現(xiàn)在第一類換元積分法中，其基本原理是：當〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出時，則將其轉化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的關鍵是第一步：將g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，這正是“湊微分”的核心。由于“湊微分”方法靈活多樣，單單依靠幾個常見的湊微分公式并不能給同學們足夠的啟示，在講解過程中我們將方法歸結為“一拆、二靠、三轉化”三步走，并且結合常見的不定積分公式求解，這樣同學們掌握起來就比較容易了。

　　1.1 “拆”

　　遇到一個不定積分題目，首先看其能否直接拆分成若干個函數(shù)的乘積，若能，則挨個觀察拆分成的函數(shù)能否湊微分，找出合適的進行湊微分求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：觀察到被積函數(shù)cosx2x 可以拆分成兩個函數(shù)的乘積：cosx·12x ，并且12x 可以進行湊微分從而變成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

　　1.2 “靠”

　　若一個不定積分不能直接拆分成若干個函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個函數(shù)的乘積但是難以進行湊微分計算，則先觀察它是否與某一個不定積分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定積分基本公式為目標去靠近從而求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通過觀察此不定積分不能直接進行拆分，但其與不定積分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我們可以以此為目標去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

　　2 分部積分法中的“湊微分”

　　分部積分法主要適用于被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積形式(主要是反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)五類基本初等函數(shù)形式的乘積)的不定積分，主體內容可以概括為“一套公式、兩個步驟、三種類型”：一套分部積分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等價于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗兩個基本步驟即：① 配微分，即將〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 變形為 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部積分公式求解、化簡(可以重復使用)。

　　教育期刊投稿須知：《中國高教研究》是教育部主管、中國高等教育學會主辦的學術理論性會刊，是全國唯一的國家一級高等教育學術理論刊物，是全國中文核心期刊，并于2001年12月經新聞出版署批準