摘 要： 分段線性剛度能量阱是非線性能量阱的一種，屬于被動減振裝置。該文主要研究正弦激勵下分段線性剛度能量阱的結構參數對振動抑制效果的影響。建立耦合分段線性剛度NES系統動力學模型，分析分段線性剛度能量阱結構參數對系統振動抑制效果的影響。針對某衛星敏感部件，綜合上述分析結果選取分段線性剛度NES的參數，通過數值仿真方法計算得到主結構加速度響應幅值降低了47%。

　　關鍵詞： 剛度能量阱; 振動抑制; 非線性能量阱; 正弦激勵; 參數分析; 數值仿真

　　0 引 言

　　衛星在發射階段會經歷復雜的動力學環境，對于光學遙感衛星而言，外激勵可能會引起光學部件共振，造成光學部件振動響應過大甚至永久破壞。為降低外部激勵在固有頻率附近時對衛星敏感部件的影響，非線性能量阱(Nonlinear Energy Sinks，NES)吸振器以其振動能量耗散效率高、魯棒性好和質量小的特點[1?2]，已越來越多地被應用于航天設備振動抑制中[3?4]。

　　非線性能量阱是一種被動減振設備，結構與傳統動力吸振器(Dynamic Vibration Absorber，DVA)相同，都是通過振動物體上附加質量彈簧系統，在共振時產生反作用力使振動物體的振動減小。但NES與DVA不同的是，其彈簧剛度或阻尼為非線性，通過產生能量定向傳遞現象(Target Energy Transfer，TET)對主體結構的振動能量進行高效的吸收和耗散。近年來對于NES的研究主要集中于立方剛度NES[5?9]，但在工程應用中完美的立方剛度制造和裝調十分困難[10?11]。由于分段線性剛度這種非線性形式具有易實現、易調節等特點，其NES逐漸被學者們所關注。

　　YAO H L等人通過半解析半數值的方法研究了分段線性剛度NES，發現系統中兩振子能量關系與立方剛度類似，能夠實現TET現象[12]，通過組合片彈簧實現了分段線性剛度近似代替立方剛度，并進行了實驗驗證，證明了分段線性能量阱有較好的抑振效果。由于正弦激勵下分段線性剛度NES在工程應用中具有優越性，故有必要分析分段線性剛度NES結構參數對其抑振性能的影響。

　　本文主要研究正弦激勵下分段線性剛度能量阱的結構參數對抑振效果的影響。本文首先建立了耦合分段線性剛度NES的二自由度系統動力學模型;通過數值方法分析了分段線性剛度NES結構參數對系統振動抑制效果的影響;針對某衛星敏感部件參數，綜合上述分析結果選取了分段線性剛度NES的參數，并通過數值方法驗證了其抑振效果。

　　1 分段線性剛度能量阱模型

　　光學載荷上某敏感部件的振動抑制模型可簡化為如圖1所示的二自由度系統，該系統由一個具有線性剛度的單自由度主結構和分段線性剛度能量阱組成。

　　該系統運動微分方程表示為：

　　[m1x1+c1x1+k1x1+c2(x1-x2)+k2(x1-x2)=Fsin(ωt)m2x2+c2(x2-x1)+k2(x2-x1)=0] (1)

　　式中：[m1]，[x1]，[x1]，[x1]分別為主結構的質量、位移、速度以及加速度;[m2]，[x2]，[x2]，[x2]分別為非線性能量阱的質量、位移、速度以及加速度;[c1]，[c2]，[k1]，[k2]分別代表主結構和非線性能量阱的粘滯阻尼系數和剛度系數;[F]為激勵幅值;[ω]為外激勵頻率。其中，[k2]為NES的分段線性剛度，其形式見式(2)，剛度曲線如圖2所示。

　　[k2(z)=kn(z-a0)，z>a00， -a0≤z≤a0kn(z+a0)，z<-a0] (2)

　　式中：[z=x1-x2]為兩振子相對位移;[a0]為彈簧剛度間隙;[kn]為分段線性剛度NES彈簧剛度系數。

　　式(1)可簡化為：

　　[x1+λ1x1+ω20x1+ελ2(x1-x2)+εF2(x1-x2)=asin(ωt)εx2+ελ2(x2-x1)+εF2(x2-x1)=0] (3)

　　式中：[ε= m2m1];[λ1=c1m1];[ελ2=c2m1];[ω20=k1m1];[εF2(z)=k2(z)m1];[a=Fm1];[ω2=k2m1]。

　　本文所建立的模型中，NES主要的結構參數有： NES質量[m2]、NES彈簧剛度間隙[a0]、NES無間隙時的線性固有頻率[ω2]和NES阻尼系數[λ2]。

　　2 參數分析

　　對于線性系統，一般通過求解系統的幅頻響應方程分析主結構在固有頻率附近的振動響應情況，但式(3)由于非線性項的存在，難以得到精確的解析解。本文應用Runge?Kutta法求得該方程的數值解，并通過繪制幅頻響應曲線分析分段線性剛度NES結構參數對系統響應影響。為了方便計算，取主結構參數如表1所示。

　　2.1 質量比[ε]

　　NES的質量比[ε]在0.1～0.7之間時，主結構在固有頻率附近的幅頻響應如圖3所示。其余參數為：[a0=0.001]，[ω2=300]，[λ2=5]。

　　可以看到系統的幅頻曲線為軟式非線性[13]。隨著質量比增大，主結構的振動響應峰值有所降低，且共振頻率也有所下降。當[ε>0.05]時，幅頻響應曲線出現了跳躍現象，這是軟式非線性系統的特點。在實際工程應用中，NES作為附加結構，其質量比不可以過大，且系統的跳躍現象不利于結構的穩定[14]，應該避免。

　　2.2 彈簧剛度間隙[a0]

　　NES剛度間隙[a0]值在0～0.003之間時，主結構在固有頻率附近的幅頻響應如圖4所示。NES其余參數為： [ε=0.05]，[ω2=300]，[λ2=5]。

　　當[a0]=0時，系統為線性二自由度系統;而當[a0]=0.003時，NES振子由于無法觸發彈簧振動，已退化成帶有質量的阻尼器。以這兩個共振峰交點附近為分界，系統振動響應隨[a0]變化過程可分為3個階段：

　　1) [a0]<0.001，系統線性特征比較明顯，可以看到隨著[a0]增大，主結構的共振頻率逐漸增大，共振峰值逐漸減小。這時主結構的加速度響應有明顯的跳躍現象。

　　2) 0.001≤[a0]≤0.003，系統在共振區間的加速的響應明顯減小，NES振動抑制效果明顯。

　　3) [a0]>0.003，隨著[a0]逐漸增大，觸發NES所需的能量逐漸增高，使NES的抑振效果隨著[a0]增大逐漸降低，當NES不能觸發TET最終退化成阻尼器后，繼續增大[a0]振動響應也不再發生變化。

　　該仿真結果說明彈簧剛度間隙[a0]的取值對NES抑振效果有重要的影響，在選取NES間隙時，應先選取為較大值，再逐漸降低間隙尋求最優的抑振效果，這樣可以防止使系統落入第一階段，以免響應幅值突變而對結構造成不利影響。

　　2.3 NES線性固有頻率[ω2]

　　NES線性固有頻率[ω2]在250～400之間時，主結構在固有頻率附近的幅頻響應如圖5所示。主結構響應在該區間內無明顯變化，這是與DVA的主要區別。傳統線性吸振器對剛度參數變化十分敏感，而仿真結果顯示分段性線性剛度NES無此現象，即分段線性剛度NES在正弦激勵下的振動抑制效果不取決于其剛度。NES其他參數為：[ε=0.05]，[a0=0.001]，[λ2=5]。

　　2.4 阻尼系數[λ2]

　　NES的阻尼[λ2]對主結構在固有頻率附近幅頻響應的影響如圖6所示。NES其余參數為： [ε=0.05]，[a0=0.005]，[ω2=300]。

　　在圖6中可以觀察到，隨著[λ2]增大，主結構加速度響應幅值減小，最終逐漸趨于幅頻曲線的跳躍點，之后再增大[λ2]幅頻曲線也不會有變化。由仿真結果可知，增大NES的阻尼[λ2]，有助于提高振動抑制效果。

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