摘要：平面解析幾何是中學數學中很有特色的內容，它的基本思想是用代數的方法解決幾何問題，我們很多人對這門課程的基本思想認識存在誤區，簡單理解成計算問題，學生不會解題，是因為運算的素養不夠。本文從研究減少計算量的策略入手，尋求在不同題設背景下方法的選擇，以達成解決問題的目標，從而提升數學運算素養。

　　關鍵詞：平面解析幾何;策略;減少計算量;運算素養

　　“圖形”和“數”是數學基本學習和研究的對象，貫穿我們整個學習過程，新教材把“幾何與代數"作為主線貫穿于整個高中課程，其中“幾何”的代表“解析幾何”，是用代數方法研究幾何圖形性質的一門課程，是建立在坐標系的基礎上，“計算量大”是顯著的特點，因此學生只懂得“怎么算”還不夠，還要通過數形結合選擇恰當方法，制定合適的解題策略，以減少計算量，不但算得好，還要算得快，以理解運算對象，概括通性通法，從中感悟運算中蘊含的思想方法，從而提升運算素養。

　　一、深挖圖形的幾何性質

　　幾何圖形是平面解析幾何研究的對象，而研究幾何對象的幾何特征是用代數方法解決問題之前要完成的工作，如掌握好基本幾何圖形(三角形、四邊形、圓等)的幾何性質，以及基本幾何關系(平行、垂直、相交、相切等)，正是通過研究幾何對象，使得比較簡潔的“形”的性質去轉化“數”的運算和推理，最后又讓

　　“形”的問題完美解決。

　　例如，已知直線l:y=x+a和圓C:x2+y+2y=0相交于不同兩點A，B，點P在直線1上，且滿足IPAI.PBI=2，當a變化時，求點P的軌跡方程。

　　利用圓的幾何性質解法分析：圓C:x2 +y2+ 2y=0的圓心C(0，-1)，-1，PT為圓的切線，PA為圓的割線，由圓的切割線 定 理 ，如 圖 所 示 ，有 |PT|2= |PA| ·|PB|=2>1，故點 P 在圓 C 外，∴|PC|=|PT|2 + |CT|2= 3，即點P的軌跡是以(0，-1)為圓心， 3 為半徑的圓。 點 P 的 軌 跡 方 程 為 x2 + ( y + 1 )2 = 3。

　　本題的常規解法是由PA1-1PB1-2聯想到直線的參數方程中1的幾何意義，雖然也很自然，運算量還是比較大的，如果不用直線的參數方程的方法，純代數方法通過設點表距離，更是“眼到手不到”。如果能夠利用平面幾何知識中有關圓的切割線定理，靈活運用平面幾何知識，解題則會事半功倍。在平常求解圓的問題時，若能充分揭示問題中的幾何關系，如切割線定理、圓冪定理、垂徑定理是圓的對稱性的反映，計算量將會大大減少。

　　二、巧用平面向量

　　進入高中我們學習一種全新的運算對象-向量，這是個既有大小又有方向的量，解析幾何中很多問題是以向量作為載體，把圖形的幾何性質隱含在里面，也有直接求向量的問題。向量不僅當作運算對象，還要當作幾何的研究對象，在數量積的定義應用中體現很充分。

　　例如，過圓C:x2 +y2=R內一定點M(xo.'o)作一動直線交圓C于兩點P，R，過坐標原點0作直線ON LPM于點N，過點P的切線交直線ON于點Q，求oiM.00的值。

　　利用向量數量積的幾何意義解法分析：由題意分析可知 PQ 為切線，則由切線性質可知，如圖連接 OP，則 OP⊥PQ。但是 OQ⊥PR 于 N，根據直角三角形的射影性質有：

　　本題常規解法是求數量積要么通過求模長和夾角，但其中可是變量，夾角也是變量，就不好求，如果通過點的坐標求數量積，點Q也不好表示，因此數量積也不好表示。而本題是與圓有關的問題可以優先利用平面幾何知識，題設條件中既有垂線又有切線，容易構成直角三角形，可以通過相似得到射影定理，故求兩向量的數量積容易想到直角三角形中成比例的線段即在的投影為1ON1三、靈活運用“設而不求解析幾何中一種最常用的策略是“設而不求”，其方法有觀察法、點差法，參數法、韋達定理等。指在解題時根據需要增設一些未知量以利于思考和解題，但在解題過程中并不要求出這些未知量，而是巧妙地“過河拆橋”。這種策略往往能避免盲目推演而造成無益的循環運算，從而達到準確、快速、簡捷的解題效果。

　　例如，過點A(2，3)的直線L與拋物線C2：x2=4y交于B，C兩點，拋物線 C2 在點 B,C 處的切線分別為 l1,l2，且 l1,l2 交于點P，求點P的軌跡。

　　而本題利用觀察法求直線方程，其思路完全顛覆常規直線的做法，不是常規方法求直線方程，它對學生的觀察能力、直覺思維有更大的要求，但是卻能讓學生更加專注于問題分析，而不是大量計算。

　　當然，求解平面解析問題的策略遠不止以上幾種，如何通過分析，尋求最優化的方法，這是需要在平常的解題中不斷總結和應用，當然求解問題時不可避免出現計算量大的問題，如何做到運算的準確、合理、簡潔，是需要方法和技巧，運算中的邏輯思維，比如消元、整體代換、構造等等，只有思維能力得到提升，技巧才能得心應手，才能真正提升運算素養。

　　參考文獻

　　[1]史寧中，王尚志普通高中數學課程標準(2017年版)[s].北京：高等教育出版社，2018.

　　[2]張鶴·數學教學的邏輯：基于數學本質的分析[M].北京：首都師范大學出版社，2016.

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文章名稱： 探索解析幾何問題中減少計算量的策略

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