摘要：基于向量式有限元法對(duì)空間格構(gòu)柱受載荷下的屈曲行為進(jìn)行數(shù)值分析，編制屈曲分析的數(shù)值計(jì)算程序，通過(guò)屈曲平衡路徑追蹤獲得失穩(wěn)臨界載荷，探討不同加載控制方法對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響?？紤]材料非線性的影響，對(duì)5層空間格構(gòu)柱的載荷屈曲過(guò)程進(jìn)行分析，獲得載荷位移全過(guò)程曲線，并與格構(gòu)柱的加載破壞試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明：向量式有限元采用位移控制法能夠較好地分析空間格構(gòu)柱的屈曲失穩(wěn)破壞過(guò)程，獲取準(zhǔn)確的極限穩(wěn)定承載力。

　　關(guān)鍵詞：向量式有限元; 位移控制; 空間格構(gòu)柱; 屈曲; 失穩(wěn)

　　0 引 言

　　格構(gòu)柱結(jié)構(gòu)能充分利用構(gòu)件性能、節(jié)約材料，在工程中應(yīng)用廣泛。格構(gòu)柱構(gòu)件眾多，結(jié)構(gòu)高聳且柔度較大，因此整體屈曲破壞前易發(fā)生局部構(gòu)件的屈曲失穩(wěn)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問(wèn)題一直是研究的難點(diǎn)。[1]理論分析和有限元法等可為分析失穩(wěn)問(wèn)題提供有力支撐。田偉等[2]和趙東東等[3]通過(guò)彈性屈曲分析和考慮大變形的彈塑性非線性分析，考察格構(gòu)柱的穩(wěn)定性能，但計(jì)算過(guò)程中需要集成剛度矩陣和求解大量非線性方程，對(duì)復(fù)雜格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的屈曲路徑跟蹤仍有一定困難[4]。一般有限元屈曲分析需要先進(jìn)行預(yù)應(yīng)力分析，再不斷更新結(jié)構(gòu)初始屈曲形態(tài)，該方法計(jì)算效率較低且容易遇到求解不收斂的問(wèn)題。

　　向量式有限元法是結(jié)合向量力學(xué)和有限元概念提出的一種力學(xué)計(jì)算方法，能夠有效求解結(jié)構(gòu)的彈塑性、屈曲失穩(wěn)、碰撞和倒塌等復(fù)雜力學(xué)行為。[56]因?yàn)樵摲椒ǖ难芯繉?duì)象是結(jié)構(gòu)的眾多質(zhì)點(diǎn)，不需要集成剛度矩陣和迭代求解非線性方程，所以在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中不需要特殊處理即可越過(guò)極值點(diǎn)，能夠有效跟蹤屈曲和后屈曲變形的全過(guò)程。[7]利用該優(yōu)勢(shì)，在格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)破壞研究中，李阿龍等[8]分析結(jié)構(gòu)屈曲路徑時(shí)提出一種先利用非線性力法預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)位移方向、再通過(guò)向量式有限元法進(jìn)行修正的方法。陳沖[9]運(yùn)用向量式有限元梁?jiǎn)卧碚?，分析格?gòu)式結(jié)構(gòu)受到外界載荷沖擊后從局部失效到整體倒塌的全過(guò)程力學(xué)特性。姚旦等[10]利用向量式有限元法研究某大跨越格構(gòu)式輸電塔在風(fēng)載荷作用下的失穩(wěn)倒塌問(wèn)題。這些研究對(duì)空間格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的向量式有限元屈曲分析多采用簡(jiǎn)化的桿單元，大部分沒(méi)有考慮材料非線性的影響，未能充分利用載荷位移曲線考察結(jié)構(gòu)整體和局部屈曲、失穩(wěn)的實(shí)際過(guò)程。

　　本文基于向量式有限元梁?jiǎn)卧碚?，利用MATLAB編制計(jì)算程序，研究空間格構(gòu)柱的屈曲破壞過(guò)程。通過(guò)LEE框架算例討論位移控制和力控制2種加載方式對(duì)分析結(jié)果的影響。在考慮材料非線性的基礎(chǔ)上，分析5層空間格構(gòu)柱的彈塑性屈曲破壞過(guò)程。

　　1 向量式有限元基本原理

　　向量式有限元結(jié)構(gòu)分析基于點(diǎn)值描述、途徑單元和逆向運(yùn)動(dòng)等3個(gè)基本過(guò)程。首先，將結(jié)構(gòu)的空間形態(tài)用有限數(shù)量的點(diǎn)描述，生成節(jié)點(diǎn)和單元;然后，通過(guò)牛頓運(yùn)動(dòng)定律控制節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，利用單元逆向運(yùn)動(dòng)獲取純變形以計(jì)算內(nèi)力，通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換確定方向;最后，將在一時(shí)間段內(nèi)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)變形劃分為多個(gè)時(shí)間微段的途徑單元，每個(gè)途徑單元都更新局部坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)位置形狀的逐步更新。

　　向量式有限元結(jié)構(gòu)計(jì)算流程如下：

　　(1)確定結(jié)構(gòu)的材料、截面性質(zhì)、阻尼、計(jì)算步長(zhǎng)和總時(shí)長(zhǎng)等參數(shù)。

　　(2)將結(jié)構(gòu)劃分為節(jié)點(diǎn)和梁?jiǎn)卧?/p>

　　(3)通過(guò)中央差分控制方程計(jì)算節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

　　(4)由逆向運(yùn)動(dòng)獲得單元的純變形，并確定內(nèi)力的大小和方向。

　　(5)更新控制方程中的外力和內(nèi)力。

　　(6)判斷是否達(dá)到計(jì)算終止時(shí)間：若否，則重復(fù)第(3)～(5)步;若是，則輸出分析結(jié)果。

　　力控制分析和位移控制分析是2種基本的分析方法。力控制法以力為自變量，通過(guò)控制方程計(jì)算位移響應(yīng);位移控制法以節(jié)點(diǎn)的位移為自變量，通過(guò)節(jié)點(diǎn)的反力反求其內(nèi)力。在屈曲分析中，2種方法各有優(yōu)劣，應(yīng)合理選擇。

　　1.1 控制方程及其求解

　　向量式有限元法的研究對(duì)象是一系列空間質(zhì)點(diǎn)，故其控制方程是一組由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)公式，并運(yùn)用顯式的中央差分公式進(jìn)行求解。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程分別為

　　式中：m和I分別為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩;x和θ分別為質(zhì)點(diǎn)的線位移和角位移;F和M分別為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力和力矩。

　　將上述運(yùn)動(dòng)控制方程轉(zhuǎn)化為中央差分形式，即

　　式中：h為時(shí)間增量的步長(zhǎng)，可設(shè)其為常數(shù);下標(biāo)中的n表示步數(shù)。根據(jù)胡克定律，受力后的無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)將維持持續(xù)振動(dòng)狀態(tài)，因此在方程中加入虛擬的計(jì)算阻尼力，上述差分公式變?yōu)?/p>

　　1.2 梁?jiǎn)卧獌?nèi)力計(jì)算

　　向量式有限元結(jié)構(gòu)分析中的梁?jiǎn)卧譃槠矫媪簡(jiǎn)卧涂臻g梁?jiǎn)卧?種。平面梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移有3個(gè)分量，包括2個(gè)平移量和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)量，單元內(nèi)力除軸向力外還有1組剪力和彎矩。空間梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)分量包括3個(gè)平移量和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，單元內(nèi)力包括軸力、扭矩，以及剪力和彎矩各2組。另外，平面梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中的1個(gè)主軸方向(垂直于運(yùn)動(dòng)平面)不發(fā)生變化，而空間梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中3個(gè)主軸方向均會(huì)發(fā)生改變。

　　單元內(nèi)力大小與純變形有關(guān)。向量式有限元法利用逆向運(yùn)動(dòng)概念計(jì)算純變形，建立局部坐標(biāo)系并根據(jù)虛功原理計(jì)算內(nèi)力大小和方向，再通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)(坐標(biāo)轉(zhuǎn)換)讓內(nèi)力方向回到原來(lái)的位置，單元逆向運(yùn)動(dòng)示意見(jiàn)圖1。若桿單元1a2a經(jīng)運(yùn)動(dòng)變形到達(dá)12，則令12進(jìn)行虛擬的逆向運(yùn)動(dòng)，包括平移(-u1)和轉(zhuǎn)動(dòng)(-θ)，可得到桿件的純變形，即長(zhǎng)度變化Δ。

　　對(duì)于梁?jiǎn)卧浼冏冃纬€位移外還包括角位移。梁?jiǎn)卧蓆a運(yùn)動(dòng)至t的變形示意見(jiàn)圖2，其中u1為節(jié)點(diǎn)1的位移。節(jié)點(diǎn)1和2的轉(zhuǎn)角θ1、θ2分別為β1a與β1和β2a與β2的差量，單元12對(duì)1a2a的轉(zhuǎn)角θ為剛體轉(zhuǎn)角。在節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角θ1和θ2中，一部分為單元的剛體轉(zhuǎn)角，另一部分為單元自身幾何變形產(chǎn)生的彎角，由此可得到梁?jiǎn)卧?個(gè)節(jié)點(diǎn)的彎角，即純變形1和2為

　　1.3 材料非線性

　　在結(jié)構(gòu)的破壞過(guò)程中，一般同時(shí)伴隨著幾何和材料的非線性問(wèn)題，只有同時(shí)考慮幾何大變形和材料彈塑性，才能比較真實(shí)地反應(yīng)結(jié)構(gòu)屈曲破壞過(guò)程。

　　為分析方便，采用雙線性強(qiáng)化彈塑性材料模型，見(jiàn)圖3。在應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力σy之前材料為完全彈性，應(yīng)力應(yīng)變曲線的斜率為彈性模量E;應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力后材料進(jìn)入塑性階段，應(yīng)力應(yīng)變曲線斜率為切線模量Et，一般可取Et=0.03E。

　　2 LEE框架算例

　　LEE框架示意見(jiàn)圖4，其受力變形過(guò)程具有顯著的非線性特征。

　　框架邊長(zhǎng)L=120 mm，截面積A=6 mm2，截面慣性矩I=2 mm4，彈性模量E=7.2 MPa。在構(gòu)件水平段距左端0.2L處加載豎直方向的力F。

　　用向量式有限元將框架劃分20個(gè)單元進(jìn)行分析，分別運(yùn)用力控制和位移控制加載形式跟蹤結(jié)構(gòu)的平衡路徑。

　　分別利用ANSYS和向量式有限元法的位移控制和力控制分析，得到加載點(diǎn)的載荷位移曲線，見(jiàn)圖5。本算例屬于躍越失穩(wěn)類型，隨著作用力的增大，結(jié)構(gòu)的受力和位移先穩(wěn)定上升，此時(shí)3條載荷位移曲線吻合較好;在位移約49.8 mm時(shí)達(dá)到臨界狀態(tài)(曲線極值點(diǎn))，之后框架發(fā)生躍越翻轉(zhuǎn)，ANSYS分析和位移控制曲線均開(kāi)始下降，此時(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)負(fù)剛度狀態(tài)，盡管兩者此時(shí)沒(méi)有吻合，但該下降段代表結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，載荷位移曲線并不具有實(shí)際意義;當(dāng)力控制曲線越過(guò)失穩(wěn)載荷值后，微小的力增量會(huì)引起結(jié)構(gòu)位移的徒增，該段并非結(jié)構(gòu)的平衡路徑;在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)翻轉(zhuǎn)后，其變形緩慢增大，3條曲線再次吻合。

　　由ANSYS分析得到的失穩(wěn)載荷為18.8 kN，向量式有限元法位移控制分析得到載荷為19.1 kN，二者誤差僅為1.6%。向量式有限元法位移控制屈曲分析能夠有效越過(guò)極值點(diǎn)，并追蹤結(jié)構(gòu)屈曲和后屈曲過(guò)程的平衡路徑，而力控制分析相對(duì)沒(méi)有此優(yōu)勢(shì)。因此，應(yīng)用向量式有限元法進(jìn)行屈曲分析應(yīng)盡量采用位移控制方式。

　　3 空間格構(gòu)柱的屈曲過(guò)程分析

　　5層空間格構(gòu)柱的有限元模型[11]見(jiàn)圖6，該格構(gòu)柱由主肢桿、水平桿和斜綴條組成。桿件長(zhǎng)度均為120 mm，截面均為8.0 mm×1.9 mm，材料為6061鋁合金，彈性模量為68.9 GPa，受壓屈服強(qiáng)度為55.2 MPa，泊松比為0.33。

　　格構(gòu)柱底端固定，在頂端豎直向下施加載荷并限制頂端節(jié)點(diǎn)的水平位移，運(yùn)用向量式有限元法空間梁?jiǎn)卧M(jìn)行仿真分析。為提高計(jì)算效率，將每個(gè)桿件劃分為3個(gè)單元，模型共有192個(gè)單元和152個(gè)節(jié)點(diǎn)。采用位移控制加載方式，加載速度為2.5×10-3 mm/s。

　　格構(gòu)柱受載屈曲過(guò)程具有顯著的幾何非線性和材料非線性特點(diǎn)。向量式有限元法分析時(shí)，以前一個(gè)途徑單元為參考不斷更新主軸坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)形狀和位移的逐步更新，故其具有二階分析的特點(diǎn)。在考慮結(jié)構(gòu)的材料非線性時(shí)，彈塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線見(jiàn)圖7。

　　向量式有限元法分析和文獻(xiàn)[11]格構(gòu)柱豎直加載方向的載荷位移全過(guò)程曲線見(jiàn)圖8。2條曲線總體上趨勢(shì)一致;在位移0～3.5 mm段2條曲線吻合較好，在位移約3.5 mm處曲線的極值點(diǎn)，即結(jié)構(gòu)的極限載荷處，二者誤差僅為1.8%;越過(guò)此極值點(diǎn)后，當(dāng)位移達(dá)5.0 mm時(shí)發(fā)生二次失穩(wěn);在結(jié)構(gòu)的主要承載桿件屈曲破壞后，格構(gòu)柱的穩(wěn)定承載能力逐漸減弱直至喪失。

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