“數”與“形”是數學兩大基本概念，數形結合的本質是一種模式轉換為另一種模式[1]，教師開展數形結合教學有助于學生利用已知探索未知。數形可視化不限于數學學科，也適用于多學科整合。教師引導學生掌握“數”“形”概念，有利于培養他們的創新思維能力。筆者結合數學和音樂教學實踐介紹數形可視化的應用。
一、認識數形可視化
(一)數形可視化的定義和演化過程
數形可視化是利用信息技術將抽象概念轉換成數形圖像，幫助學習者直觀感知，使抽象問題具體化、繁雜文字數據條理化，進而解決問題的過程[2]。具體來講，它是運用軟件和技術，以學習者為中心，按照認知規律，將對數字的感知、認知、想象、推理及其發展變化過程，轉換為可視化資源，幫助學習者有效學習的方式。
筆者從數形分化、數形結合、數形可視化三個階段闡述數形可視化的演化過程。其一，從數形分化來看，教師基于現象進行數與形的抽象，用數和形解釋當前所看到的現象或者問題，用數來表征概念，用形來重組概念，分別發揮其不同作用，幫助學生認知現實世界。其二，從數形結合來看，將數與形的特點進行結合，用原有的數、形的抽象概念解釋現象，通過數形結合來將抽象概念具體化、簡單化，發揮數之“以數助形”和形之“以形解數”的作用，并且數與形是雙向可逆的。其三，從數形可視化來看，充分利用信息技術支撐，以學生為中心，根據認知規律，用數字化圖像可視化表征數形結合，讓轉化者和使用者更加直觀地理解數與形表達的抽象概念，有效學習、深入理解。
(二)數形可視化的特點
數形結合，力求“以形助數”與“以數解形”，堅持“利、逆、高”的發展理念，以適應智能化教與學的變革。利，就是有利轉換，通過信息技術、智能化、軟件呈現等，降低學習者認知成本。逆，就是可逆轉換，通過交互與可逆轉換，呈現認知最佳點，幫助學習者有效學習、有效歸納。高，就是高度可視化和高度提煉，不論是理論到實踐的化歸，還是實踐到理論的提煉，高度轉換就能降低學習成本、認知成本和制作成本。
(三)數形可視化的類型
目前，軟件工具趨于模板化、智能化、操作簡單化，有利于使用者掌握，實現數形可視化。數形可視化分為兩類：一類為抽象到具體的正向轉化;另一類為具體到抽象的逆向化歸。正向轉化包括“文字和數據可視化”“思維與推理過程可視化”“抽象問題具體化”等。在開展文字意境理解、定理推論證明、技能實操演示等教學時，教師可通過可視化(呈現)，幫助學生更好地理解知識，解決問題。逆向化歸包括“思想統籌”“數據整理”“結論化歸”等。在開展數據統計分析、觀點宏觀提煉等教學時，教師通過合理的分析與提煉，幫助學生更好歸納內化。正向轉化與逆向化歸并不孤立，二者相輔相成，緊密圍繞有利轉換和最佳呈現，為“減負”與“提效”服務。
二、設計準則與教學策略
(一)數形可視化的設計準則
數形可視化的設計應當遵循表達準確、轉換精確、重點清晰、體貼和諧四項原則。所謂表達準確，就是數形可視化的設計應當為學生提供理解每階段內容學習所需的前后聯系元素，將文字、數據進行準確的可視化，確保知識表達的準確性。為何強調轉換精確，因為雙向轉換存在誤差，轉換準確率的高低決定了“減負率”，也決定了“學與教”效率的高低。數形可視化的設計應當做到有利轉換與精確轉換。雙向轉換表達要清晰，特別是重點或要點，言簡意賅、清晰表達，能快速引導學生的注意力集中到最重要的知識點上，減輕認知負擔，數形可視化的設計與選材應當小而精，盡量以單一重點或要點為背景，這就是重點清晰準則。數形可視化的設計以學生為中心，以學習認知為出發點，設計并不針對個體，而是充分考慮學生的學習訴求，進行引導，使交互更友好、更普適，這就是體貼和諧準則。
(二)數形可視化的教學策略
數形可視化的應用必定基于庫的建設。庫，需要學習者與教學者或研究者(以下合稱教研者)共同建構，需要集體的同化與順應，需要互聯網、軟件和技術智能化的支持。教研者創建數形可視化云端，學習者在紙上(或設備上)完成作品后，可通過設備掃描，上傳至云端。教研者下載作品至PC端，借助軟件與技術，作可視化或抽象化處理，反饋到學習者，并積累入庫。庫與庫之間，共創、共生、共享、共贏，服務于教學。入庫后，任何時段，學習者或教研者都可鏈接庫，檢索(如“凸多邊形外角和”“正三角形內任意點到三邊的距離和等于正三角形的高的證明”“T檢驗”“演唱技巧”等)，即可調用資源，進行教研或學習。
當庫滿足學習者需求，學習者只需通過設備與網絡，訪問庫，檢索關鍵詞，選擇適當資源，即可個性化學習;如庫暫時無法滿足需求，可通過尋求教研者幫助，共建庫，以滿足學習者需求，共享共贏。通過庫與庫的鏈接，構建更大庫，擴大資源數量與覆蓋面。學習者可為教研者，教研者可為學習者，相輔相成，共建共生。
三、數形可視化典型案例與效果分析
(一)凸多邊形外角和360°的證明
筆者通過實驗，實現數形可視化，利用Geogebra軟件，呈現三角形、四邊形、五邊形、六邊形等凸多邊形的外角(可隨意改變多邊形的邊長與形狀)，利用函數，顯示多邊形每個外角的度數以及求和結果。筆者設置可控制條，拉動多邊形外角的邊(可逆，往外或往內)，逐步將多邊形拉緊，直到多邊形變為一個點，多邊形外角和形成一個周角360°(如圖1)。筆者借助軟件進行直觀演示，引發學生思考：“凸多邊形外角和是否都是360°?”
學生這是通過實驗、觀察，猜想：多邊形的外角和等于360°。筆者接下來給出它的數學證明，讓學生明白“凸多邊形外角和360°”本質上是三角形的內角和等于180°，多邊形與圓有著密切的聯系。
凸n邊形的內角和等于(n-2)×180°。凸n邊形每一條邊都存在1個內角和1個外角，且該內角和外角組成平角(180°)。
