摘要：針對游標混合電機(VHM)設計時難以實現快速準確的電機磁場求解問題，提出采用子域法推導游標混合電機的解析分析模型，實現電機磁場和電磁性能的快速準確計算。根據電機結構和各部分電磁特性，將電機求解區域劃分為定子槽、定子槽口、永磁體(PM)、氣隙和轉子槽5個子域，根據各子域磁場偏微分方程和矢量磁位通解，結合邊界條件求解各子域矢量磁位，計算氣隙磁密、磁鏈、反電勢(EMF)、齒槽轉矩和電磁轉矩。研究定轉子槽寬對轉矩脈動和平均轉矩的影響，在不減小平均轉矩的情況下，得到削弱轉矩脈動的定轉子槽寬組合。設計制造一臺樣機，實驗結果驗證了解析模型的正確性。

　　關鍵詞：游標混合電機;子域法;矢量磁位;邊界條件;有限元法

　　《防爆電機》(雙月刊)創刊于1959年，由佳木斯防爆電機研究所主辦。本刊立足于電機行業的發展，為促進我國科學技術的進步，首推最新成果，側重刊載前沿科學和實用性強的文章。

　　0引言

　　游標混合電機(vernier hybrid machine， VHM)是一種新型的雙凸極電機，其永磁體位于定子內表面，繞組安放于定子槽內，轉子鐵心上只有調制齒，不安放繞組。VHM具有高轉矩密度和優秀的低速大轉矩輸出能力，散熱性能好，轉子結構簡單可靠，適用于風力發電、潮汐發電和電動汽車等領域。

　　相關文獻對VHM的結構和性能分析方法進行了分析與研究。通過分析VHM拓撲結構與工作原理，發現VHM難以同時兼顧高轉矩密度和高功率因數。將傳統游標混合電機的表面式磁極改為內置V字型，并在定子槽內增加勵磁繞組，能夠提高磁場調節能力。在旋轉VHM的基礎上，設計了單初級和雙初級的VHM直線電機，提出了通過磁鏈、電流和位置數據預測電機性能的方法。采用直流偏置正弦電流控制游標混合電機，能夠提高電機的轉矩密度、功率因數和效率，擴大電機恒功率運行區域。

　　目前，游標混合電機的分析方法主要為有限元法。有限元法可以充分考慮鐵心飽和、端部效應和漏磁等問題，求解精度高，但是計算時間長，建模復雜。作為一種解析分析方法，子域法具有計算時間短和計算精度較高等優點，已被用于表面式永磁同步電機和游標電機的磁場計算。本文采用子域法對VHM進行建模與分析，根據電機各部分電磁特性，將求解區域分解為多個子域，基于各子域的磁場偏微分方程和矢量磁位通解，根據各個子域交接處的邊界條件求解得到各子域矢量磁位，并基于磁場進行電機性能計算。

　　1VHM工作原理

　　圖1為VHM電機模型，永磁體和三相繞組都位于定子上。永磁體位于定子齒表面，箭頭指向為永磁體的磁化方向。轉子為開槽鐵心，無繞組。

　　VHM的工作原理為磁場調制理論。定子永磁體的磁動勢基波為

　　F=Fpmsin(Qpmθ+θ0)。(1)

　　式中：Fpm為永磁體磁動勢基波幅值;Qpm為永磁體基波磁動勢極對數;θ為機械角度;θ0為相位角。

　　由于轉子的旋轉，氣隙磁導會發生周期性的變化，當轉子沿逆時針方向旋轉時，只考慮恒定值和基波，可將其表示為

　　Λ=Λ0+Λmsin(Qrθ-ωt)。(2)

　　式中：Λ0是氣隙磁導恒定值;Λm為氣隙磁導基波幅值;Qr為轉子齒數;ω為轉子旋轉角速度;t為時間。

　　氣隙磁密徑向分量可以表示為

　　Br=FΛ=FpmΛ0sin(Qpmθ+θ0)+

　　FpmΛm2{cos[(Qpm-Qr)θ+θ0+ωt]-

　　cos[(Qpm+Qr)θ+θ0-ωt]}。(3)

　　氣隙磁密主要包含3個分量，第1項是靜止分量，極對數為永磁體磁動勢基波磁極數Qpm;第2項是極對數為|Qpm-Qr|的旋轉分量，若(Qpm-Qr)為正值，則該分量轉向和轉子運動方向相反，若為負值，則轉向和轉子運動方向相同;第3項是極對數為(Qpm+Qr)的旋轉分量，轉向和轉子運動方向相同。兩旋轉分量會在電樞繞組中感應出交變磁鏈，轉子旋轉一周，磁鏈變化周期數等于轉子槽數。

　　2子域劃分與矢量磁位通解

　　根據VHM結構，求解區域可以被分為5個子域，分別為氣隙、永磁體、定子槽口、定子槽和轉子槽。子域劃分和各子域主要結構尺寸如圖1和圖2所示。

　　在子域I(氣隙)內，矢量磁位AI滿足拉普拉斯方程：

　　2AIr2+1rAIr+1r22AIθ2=0。(4)

　　其通解可表示為

　　AI=∑k{[A1(rRm)k+B1(rRr)-k]cos(kθ)+

　　[C1(rRm)k+D1(rRr)-k]sin(kθ)}。(5)

　　在子域Ⅱ，對于徑向充磁永磁體，磁化強度Mr可表示為

　　Mr=∑kMrkcos(kθ)。(6)

　　子域內矢量磁位AII滿足泊松方程：

　　2AIIr2+1rAIIr+1r22AIIθ2=-μ0r∑kkMrksin(kθ)。(7)

　　式中μ0為真空磁導率。

　　其通解可表示為

　　AII=∑k{[A2(rRs)k+B2(rRm)-k]cos(kθ)+

　　[C2(rRs)k+D2(rRm)-k+μ0rkMrkk2-1]sin(kθ)}。(8)

　　在子域III(定子槽口)內，矢量磁位AIIIi滿足拉普拉斯方程，其通解可表示為

　　AIIIi=C30+D30lnr+∑m[C3i(rRt)Fm+

　　D3i(rRs)-Fm]cos[Fm(θ-θi+α0/2)]。(9)

　　式中Fm=mπ/α0。

　　在子域IV(定子槽)內，由于槽內導體中存在電流密度Ji，對其進行傅立葉分解，表達式為

　　Ji=Ji0+∑nJincos[En(θ-θi+αa/2)]。(10)

　　其中：

　　Ji0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jidθ， (11)

　　Jin=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jicos[En(θ-θi+αa/2)]dθ。(12)

　　式中En=nπ/αa。

　　該子域內矢量磁位AIVi滿足泊松方程：

　　2AIVir2+1rAIVir+1r22AIViθ2=-μ0Ji。(13)

　　其通解可表示為

　　AIVi=C40+μ0Ji04(2R2sblnr-r2)+

　　∑n{D4i[G1(rR2sb)En+(rRt)-En]+

　　μ0JinE2n-4[r2-2R2sbEn(rRsb)En]}×

　　cos[En(θ-θi+αa/2)]。(14)

　　式中G1=(Rt/Rsb)En。

　　在子域V(轉子槽)內，矢量磁位AVj滿足拉普拉斯方程，其通解可表示為

　　AVj=C50+∑mD5j[(rRrb)Gm+(rRrb)-Gm)×

　　cos[Gm(θ-θj+αra/2)]。(15)

　　式中Gm=mπ/αra。

　　3邊界條件與未知系數求解

　　在5個子域的矢量磁位通解表達式中，系數A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2、C3i、D3i、C30、D30、D4i、C40、D5j和C50為未知系數，需要結合相鄰子域的邊界條件，即矢量磁位連續和磁場強度切向分量連續，建立包含未知系數的方程組，進行求解。

　　在子域I(氣隙)和子域II(永磁體)的交界面(r=Rm)上，矢量磁位A和磁場強度的切向分量Hθ滿足邊界條件：

　　AI(Rm，θ)=AII(Rm，θ)，

　　HIθ(Rm，θ)=HIIθ(Rm，θ)。 (16)

　　從而可得：

　　A1+B1(RmRr)-k-A2(RmRs)k-B2=0， (17)

　　C1+D1(RmRr)-k-C2(RmRs)k-D2=μ0Rmkk2-1Mrk， (18)

　　μr[A1-B1(RmRr)-k]-A2(RmRs)k+B2=0， (19)

　　μr[C1-D1(RmRr)-k]-C2(RmRs)k+D2=μ0Rmk2-1Mrk。(20)

　　在子域II(永磁體)和子域III(定子槽口)的交界面(r=Rs)上，邊界條件為：

　　AII(Rs，θ=θi±α0/2)=AIIIi(Rs，θ=θi±α0/2)，

　　HIIθ(Rs，θ=θi±α0/2)=HIIIiθ(Rs，θ=θi±α0/2)。(21)

　　將矢量磁位AII統一到上，可得

　　AII=AII0+∑mAIImcos[Fm(θ-θi+α0/2)]。(22)

　　其中：

　　AII0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIdθ，(23)

　　AIIm=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIcos[Fm(θ-θi+α0/2)]dθ。(24)

　　將磁場強度切向分量HIIIθi統一到上，可得

　　HIIIθi=∑k[CIIIkcos(kθ)+DIIIksin(kθ)]。(25)

　　其中：

　　CIIIk=1π∫π-πHIIIθicos(kθ)dθ，(26)

　　DIIIk=1π∫π-πHIIIθisin(kθ)dθ。(27)

　　結合式(21)，可得：

　　AII0=C30+D30lnRs， (28)

　　AIIm=C3i(RsRt)Fm+D3i，(29)

　　CIIIk=0， (30)

　　DIIIk=-kμrμ0RsMrkk2-1。(31)

　　在子域III(定子槽口)和子域IV(定子槽)的交界面(r=Rt)上，邊界條件為：

　　AIIIi(Rt，θ=θi±α0/2)=AIVi(Rt，θ=θi±α0/2)，

　　HIIIθi(Rt，θ=θi±α0/2)=HIViθ(Rt，θ=θi±α0/2)。(32)

　　將矢量磁位AIVi統一到上，可得

　　AIVi=AIVi0+∑mAIVimcos[Fm(θ-θi+α0/2)]。(33)

　　其中：

　　AIVi0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVidθ，(34)

　　AIVim=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVicos[Fm(θ-θi+α0/2)]dθ。(35)

　　將磁密BIIIθi統一到上，可得

　　BIIIθi=B0+∑nBncos[En(θ-θi+αa/2)]。(36)

　　其中：

　　B0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθidθ，(37)

　　Bn=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθicos[En(θ-θi+αa/2)]dθ。(38)

　　結合式(32)可得：

　　AIVi0=C30+D30lnRt，(39)

　　AIVim=[C3i+D3i(RtRs)-Fm]，(40)

　　B0=-μ0Ji02(R2sbRt-Rt)，(41)

　　Bn=-EnD4iRt[G2(RtRsb)En-1]-

　　2μ0JinE2n-4[Rt-R2sbRt(RtRsb)En]。(42)

　　在子域I(氣隙)和子域V(轉子槽)的交界面(r=Rr)上，邊界條件為：

　　AI(Rr，θ=θi±αra/2)=AVj(Rr，θ=θi±αra/2)，

　　HIθ(Rr，θ=θi±αra/2)=HIVjθ(Rr，θ=θi±αra/2)。(43)

　　將矢量磁位AI統一到上，可得

　　AI=AI0+∑mAImcos[Fm(θ-θj+αra/2)]。(44)

　　其中：

　　AI0=1αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIdθ，(45)

　　AIm=2αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIcos[Fm(θ-θj+αra/2)]dθ。(46)

　　將磁密切向分量BVθj統一到上，可得

　　BVθj=∑k[CVkcos(kθ)+DVksin(kθ)]。(47)

　　其中：

　　CVk=1π∫π-πBVθjcos(kθ)dθ，(48)

　　DVk=1π∫π-πBVθjsin(kθ)dθ。(49)

　　結合式(43)可得：

　　AI0=C50，(50)

　　AIm=D5j[(RrRrb)Gm+(RrRrb)-Gm]，(51)

　　CIIIk=kRr[A1(RrRm)k-B1]，(52)

　　DIIIk=kRr[C1(RrRm)k-D1]。(53)

　　結合式(17)～式(20)、式(28)～式(31)、式(39)～式(42)、式(50)～式(53)，可以求解未知參數，進而得到各個子域內矢量磁位。

　　4計算結果與仿真驗證

　　基于子域法解析模型，對一臺定子6槽轉子16槽VHM的性能進行了分析計算，樣機的主要結構參數如表1所示。

　　圖3為電機空載氣隙磁密徑向和切向分量曲線，解析法和有限元法的結果吻合，磁密徑向分量曲線中，在0°、60°、120°、180°、240°、300°這6個角度所在區間的磁密為0，對應6個定子槽口。

　　對電機的空載氣隙磁密徑向分量進行快速傅里葉變換，主要諧波的幅值和相位角隨轉子位置的變化曲線如圖4所示。氣隙磁密徑向分量中，幅值最大的諧波極對數為18，且相位保持不變，代表式(3)中的Qpm對極靜止磁場分量;旋轉分量的極對數分別為Qpm-Qr=2和Qpm+Qr=34，根據相位角的變化可知，轉子旋轉1個齒距，兩旋轉分量均變化1個周期。

　　圖5為施加幅值為10 A的三相正弦電流負載時的電機氣隙磁密徑向和切向分量的計算結果，解析法和有限元法的結果較為吻合。通過與圖3的對比可以看出，當電流幅值為10 A時，氣隙磁場徑向和切向分量與空載相差不大，說明電機的電樞反應較弱，電樞電流產生的磁場對氣隙中的磁場分布影響較小。

　　電機的定子繞組位于子域IV(定子槽)中，可通過矢量磁位AIVi計算第i個定子槽內線圈邊的磁鏈，從而得到每相繞組的磁鏈。