摘 要：函數與導數考題本質上是考查利用導數研究函數圖象的特征，建立數與形的聯系.因此借助函數圖象的直觀性，對于進一步分析探索出解決函數問題的策略，尋求到解決函數問題的思路方法，將起著決定性的作用.而借助GeoGebra平臺的繪圖功能和動態演示功能，正是一種破解之道.

　　關鍵詞：信息技術;函數圖象;GeoGebra平臺

　　《自動化與信息工程》(月刊)創刊于1980年，由國家新聞出版總署批準，廣東省科學院主管，廣東省科學院自動化工程研制中心、廣州市自動化學會聯合主辦。

　　函數是貫穿于高中數學教學的一條主線，也是高考數學命題的主干知識.縱觀近年來的高考試題，不論是在主觀試題還是客觀試題的命制上，函數內容都占有相當的權重，常常作為壓軸題.考查的內容豐富多樣，覆蓋了函數的極值、最值、單調性、零點、參數的取值范圍等相關知識點.滲透了函數與方程、轉化與劃歸、數形結合等思想方法，提升了邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養，培養學生的創新思維能力.大多試題本質上是考查利用導數研究函數圖象的特征，建立數與形的聯系.因此若能借助函數圖象的直觀性，對于進一步分析探索出解決函數問題的策略，尋求到解決函數問題的思路方法，將起著決定性的作用.現擷取2019年高考函數精彩試題幾例，借助于GeoGebra平臺的繪圖功能和動態演示功能，尋求其破解之道.

　　1 技術支持、探索思路、尋求突破

　　例1 (2019年浙江卷第9題)設a，b∈R，函數f(x)=x，x<0，13x3-12(a+1)x2+ax，x≥0.若函數y=f(x)-ax-b恰有3個零點，則( ).

　　A.a<-1，b<0 B.a<-1，b>0

　　C.a>-1，b<0 D.a>-1，b>0

　　分析 本題考查含參數的零點問題，所給的函數是分段函數，題干中含有兩個參數a，b，且多項式的次數是3次，入手比較困難，我們可以借助于GeoGebra平臺的繪圖功能和動態演示功能，畫出函數的圖象，通過改變參數a，b的值，讓圖象動態變化，尋求解題的突破口.

　　在GeoGebra界面上繪制出函數y=(1-a)x-b，x<013x3-12(a+1)x2-b，x≥0的圖象，如圖1，滑動滑桿a，b(改變a，b的值)讓圖象動態變化，觀察到參數a決定圖象的形狀，參數b決定圖象的位置.若函數y=f(x)-ax-b恰有3個零點，只需第一段函數有一個零點，且第二段函數有兩個零點即可.這就是解此題的突破口.

　　解析 由g′(x)=x2-(a+1)x=x[x-(a+1)]=0，得x=0或x=a+1.

　　由以上分析知，若函數y=13x3-12(a+1)x2-b在[0，+∞)上恰有兩個零點，且y=(1-a)x-b在(-∞，0)上有一個零點，則有

　　-b<0，a+1>0，g(a+1)=-16(a+1)3-b<0，1-a>0.

　　解得-1　　評析 GeoGebra技術支持圖象動態變化，探索出參數a，b的本質屬性，借助于圖象獲得解題的突破口.思路簡潔，容易理解.

　　例2 (2019年全國Ⅲ卷理12)設函數f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且僅有5個零點，下述四個結論：①f(x)在(0，2π)上有且僅有3個極大值點;②f(x)在(0，2π)上有且僅有5個極小值點;③f(x)在(0，π10)上單調遞增;④ω的取值范圍是[125，2910].其中所有正確結論的編號是( ).

　　A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④

　　分析 本題考查含參數的三角函數的相關知識，試題涉及到函數的零點、極值點、單調性、參數的取值范圍等，設計新穎獨特，具有一定的區分度和選拔功能.學生只有對四個結論逐一檢驗，才能得出正確的選項.試題對學生考查的標準比較高，對考生來說，是有一定難度的.我們可以借助于GeoGebra平臺的繪圖功能和動態演示功能，畫出函數的圖象，通過改變參數ω的值，讓圖象動態變化，尋求解題的突破口.

　　在GeoGebra界面上繪制出函數f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)的圖象，如圖2所示，滑動滑桿ω，在拉伸或壓縮圖象的過程中，滿足條件f(x)在[0，2π]上有且僅有5個零點的關鍵是x軸正方向上的第五個零點的坐標x5≤2π，且第六個零點的坐標x6>2π.這就是解決問題的突破口.

　　解析 設xi(i=1，2，3，4，5，6)表示x軸正方向上函數f(x)的第i個零點.由ωx1+π5=π，得x1=4π5ω.因為T=2πω，所以x5=4π5ω+4·T2=24π5ω，x6=4π5ω+5·T2=29π5ω.由于f(x)在[0，2π]有且僅有5個零點，因而x5≤2π，x6>2π，解得125≤ω<2910.所以④正確.

　　設yi(i=1，2，3，…)表示x軸正方向上函數f(x)的第i個極大值點. 由ωy1+π5=π2，得y1=3π10ω.yi=y1+(i-1)T=3π10ω+2(i-1)πω(i=1，2，3，…).

　　因而由125≤ω<2910，易檢驗得y3<2π，y4>2π.所以①正確.

　　設zi(i=1，2，3，…)表示x軸正方向上函數f(x)的第i個極小值點. 由ωz1+π5=3π2，得z=13π10ω.zi=z1+(i-1)T=13π10ω+2(i-1)πω(i=1，2，3，…).

　　因而由125≤ω<2910，易解得53π29　　因為函數f(x)在(0，4π5ω)上單調遞增，由125≤ω<2910，得8π29<4π5ω≤π3，因而π10<4π5ω.所以(0，π10)(0，4π5ω).因此f(x)在(0，π10)上單調遞增，所以③正確.