摘要 基于環路傳播延時對外差式光鎖相環穩定性和環路相位誤差的影響，以奈奎斯特判斷準則為依據，以環路相位裕度為度量，研究了延時與環路中主要參數的關系。首先通過環路數學模型，計算出環路相位裕度。以常用一階無源低通濾波器和一階有源低通濾波器為代表，研究了延時與環路中自然頻率、阻尼因子、環路穩定性和相位誤差的關系。結果表明，實際應用中，在保證環路穩定性以及相位誤差的情況下，相位裕度應控制在45°～ 60°之間，當阻尼因子為1時環路自然頻率與延時乘積應處于0.138～0.266之間。同時計算出此時系統若處于最佳跟蹤性能范圍，環路延時應控制在0～1 ns內。

　　關 鍵 詞 外差式光鎖相環;延時;相位裕度;阻尼因子;自然頻率

　　0 引言

　　隨著人們對大容量、遠距離、高性能的通信需求，相干光通信已成為21世紀最主要的通信方式。然而相干光通信中光載波頻率穩定性與接收機解調光載波相干性已成為影響相干光通信質量的制約因素。外差式光鎖相環(Heterodyne Optical Phase Lock Loop，HOPLL)因能主動抑制光載波相位噪聲、合成高相干光等優點，已成為相干光通信重要技術[1-2]。目前，HOPLL已應用于毫米波和太赫茲光信號合成、高分辨率光譜測量、微波光子學、光纖陀螺等領域[3-6]。2017年，Shams等[7]第一次通過實驗驗證HOPLL與光學頻率梳發生器(Optical Frequency Comb Generator，OFCG)結合，合成具有高穩定性、低相位噪聲的可調諧太赫茲光載波;2018年，Balakier等[8]首次通過光子集成電路(Photonic Integrated Circuit，PIC)實現HOPLL對光學頻率梳中頻線選擇，篩選出具有高相干性光載波——光載波在5 kHz頻率處相位噪聲僅為-100 dBc/Hz;2018年，Katarzyna等[9]通過集成HOPLL和多段可調諧分布式布拉格反射激光器(DBR)電路實現DBR與參考光信號相位鎖定，在1 THz調諧范圍內合成高純度毫米和太赫茲光載波——光載波在10 kHz頻率偏移處相位噪聲為-96 dBc/Hz等等。因此，設計高性能HOPLL環路對相干光通信系統具有重要意義。

　　HOPLL環路是一個具有慣性環節的線性系統[10]。因受環路負反饋控制，環路延時影響著環路輸出相位和幅度。過大的延時不僅降低環路相對穩定性而且會增大環路相位誤差。因此實際使用中，為增強環路穩定性和減小相位誤差，通常選擇降低環路自然頻率。但降低環路自然頻率會引發一系列級聯效應，如環路捕獲范圍變窄、捕獲時間增大、環路跟蹤性能降低、相位誤差變大等現象。因此，研究延時與環路穩定性以及相位誤差之間關系很重要。相位裕度作為衡量環路相對穩定性的指標，應控制在合理范圍內。過大的相位裕度引起系統響應變慢，過小的相位裕度易引起系統不穩定，因此環路相位裕度應設置為45°～ 60°之間。本文以奈奎斯特判斷準則為依據，以相位裕度為度量，通過控制變量法分析HOPLL環路相對穩定性以及相位誤差，并且對環路延時、自然頻率、阻尼因子、穩定性之間關系進行具體推導，推導結果對設計高性能HOPLL具有重要意義。

　　1 外差式光鎖相環結構

　　圖1a)為典型外差式光鎖相環結構圖[11]。環路結構包括兩臺激光器，2×1光耦合器、光電探測器(PD)、射頻放大器(SOA)、鑒頻鑒相器(PFD)、低通濾波器(LPF)，環路延時環節(τ)。圖中一臺激光器作為主激光器，其頻率穩定度高，線寬窄，相位噪聲小;另一臺激光器作為從激光器(又稱被鎖激光器)，從激光器線寬比較寬，相位噪聲大、可調諧。

　　基于奈奎斯特判斷準則，可以通過環路相位裕度衡量環路相對穩定性能力[16]。相位裕度，即系統處于穩定狀態時，環路所能受到相位擾動的大小。由開環傳遞函數[Hs]，計算環路相位裕度，如式(4)所示：

　　相位裕度φ大小可以表示環路相對穩定能力的大小。當相位裕度為正時，環路呈現穩定狀態;當相位裕度為負時，環路進入不穩定狀態。由式(3)可知，環路相位裕度與環路中低通濾波器傳遞函數[Gs]密切相關。HOPLL常用環路濾波器有2種結構：無源低通濾波器和有源低通濾波器。

　　2.1 一階無源低通濾波器

　　無源低通濾波器，環路結構簡單且由無源器件搭建，因此環路噪聲較小。根據梅森定理[17]，由低通濾波器產生的噪聲對從激光器影響較小。但無源低通濾波器增益較低，因此對環路整體增益有限。高階低通濾波器的實現通常伴隨更多環路極點的引入，嚴重影響環路相位域的頻率穩定性。因此本文選擇一階無源低通濾波器作為環路分析模型。一階無源低通濾波器結構如圖2所示。

　　2.2 一階有源低通濾波器

　　有源低通濾波結構具有較大環路增益，因此對低頻信號具有放大作用從而達到更佳濾波效果。但同時運放內部噪聲隨環路疊加從而影響環路鎖定時相位誤差。若運放噪聲偏大，則嚴重影響到環路鎖定。高階有源低通濾波器隨著極點的增加同樣影響環路頻率穩定性。因此本文選擇一階有源低通濾波器作為分析模型。一階有源低通濾波器結構如圖3所示。

　　3 結果與分析

　　3.1 一階有源低通濾波器穩定性分析

　　為了研究環路自然頻率[ωn]和環路阻尼因子?之間關系，首先保證環路穩定性，設環路相位裕度分別為45°和60°。如圖4所示。由上及下4條曲線依次表示環路延時為0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns，圖中縱坐標表示環路自然頻率log10 ωn。

　　由圖4a)和圖4b)可知，在相同環路延時條件ιd下，環路自然頻率[ωn]并不是環路阻尼因子?的單調函數，而是隨著阻尼因子?增大，環路自然頻率[ωn]先增大，然后減小。在不同延時條件下，同樣存在最佳阻尼因子使得自然頻率最大。因此，通過選擇最佳阻尼因子有利于環路動態跟蹤性能。在相同阻尼因子和相位裕度下，環路延時越小，環路自然頻率越大，因此減小環路延時有助于提升環路跟蹤性能。對比圖4a)和圖4b)，最佳阻尼因子隨著相位裕度增大而變大，因此環路穩定性隨著阻尼因子變大而增強。

　　由上可知，環路中存在最佳阻尼因子使環路自然頻率最大。研究時延與自然頻率之間關系，設環路阻尼因子為? = 1，如圖5所示。圖5中由上及下3條曲線分別表示相位裕度為0°，45°，60°這3種情況。相位裕度為0°表示環路相對穩定臨界值。其中縱坐標表示環路自然頻率lgωn。

　　由圖5可以發現，在相位裕度相同時，環路延時越大，自然頻率越小。但環路延時在0～1 ns之間，自然頻率變化幅度較大，隨后變化幅度相對緩慢。因此，在環路穩定前提下，為增大環路捕獲帶寬和跟蹤性能，環路最佳延時應控制在1 ns內。在環路延時相同時，隨著相位裕度增大，環路自然頻率相應減小。因此，增大環路穩定性時，環路捕獲范圍和跟蹤性能變差。

　　設計HOPLL，環路穩定性和相位誤差均影響環路性能。由文獻[20]可知影響環路相位誤差因素主要包括激光器內部相位噪聲、環路白噪聲和探測器散粒噪聲。其中激光器相位噪聲和探測器散粒噪聲與環路自然頻率與延時乘積有關，即ωnτd。因此有必要研究ωnτd與相位裕度之間關系。設阻尼因子? = 1，由式(8)計算兩者之間關系。如圖6所示，圖中相位裕度單位為rad，橫坐標k = ωnιd。

　　由圖6發現隨著環路k增大，相位裕度線性減小因此環路穩定性降低。當k = 0.647時，環路相位裕度為0，處于臨界穩定范圍。因此若使相位裕度處于45°～60°之間，k應處于0.138～0.266之間。同時，由文獻[21]計算此時環路相位標準方差小于10°。

　　為更直觀表示自然頻率、延時與相位裕度之間關系。設? = 1，如圖7所示。圖中縱坐標為相位裕度，橫坐標分別為環路延時與自然頻率。當縱坐標相位裕度為負值時，環路處于不穩定狀態，無法正常工作。因此為保證HOPLL具有較高穩定性，應設計合理環路時延與自然頻率。

　　3.2 一階無源低通濾波器穩定性分析

　　通過控制變量法分析一階無源低通濾波器環路穩定性。設環路相位裕度為45°和60°，結合式(6)，計算出阻尼因子與自然頻率關系，如圖8所示。圖8a)表示環路相位裕度為45°，圖8b)表示環路相位裕度為60°。由上到下四條曲線分別表示延時0.1 ns，1 ns，5 ns，10 ns。縱坐標表示自然頻率lg ωn，

　　由圖8a)、b)發現當環路延時相同時，自然頻率隨阻尼因子變大而增大。因此，環路跟蹤性能隨阻尼因子變大而增強。但環路跟蹤性能增強時，自然頻率與延時乘積增大，因此環路相位誤差增大，故環路動態跟蹤性能與相位誤差之間存在矛盾。當阻尼因子相同時，自然頻率隨著環路延時變小而增大。因此可以通過減小環路延時增強環路動態跟蹤性能。

　　為研究環路延時與自然頻率關系，設阻尼因子為1，以相位裕度60°為參考。如圖9所示，圖中縱坐標表示自然頻率lgωn。

　　由圖9發現環路自然頻率隨延時增加而減小。當延時處于0～1 ns之間，自然頻率衰減幅度較大，大約衰減一個數量級。因此過大延時導致環路動態性能急劇變差。為保證系統具有最佳捕獲性能，理想環路延時應控制在1 ns內。

　　為更直觀表示一階無源低通濾波器環路延時、自然頻率和相位裕度關系，如圖10所示。圖10中阻尼因子為1，縱坐標表示環路相位裕度、橫坐標表示延時和自然頻率。

　　當環路相位裕度為正時，環路處于穩定狀態。由式(6)與圖10分析，若延時與自然頻率設置不合理，環路容易脫鎖從而影響系統正常工作。對比圖7和圖10，發現一階無源低通濾波器在相同延時與自然頻率下，環路相位裕度優于一階有源低通濾波器相位裕度。但實際情況中，為增大環路增益在相位噪聲允許情況下，選擇有源低通濾波器作為環路濾波結構。

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